Mọi hàm có thể được phân tích duy nhất thành tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ, được gọi tương ứng là phần chẵn và phần lẻ của một hàm số, nếu ta đặt như sau:

f e ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) 2 {\displaystyle f_{\text{e}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}} (Eq.3)

và

f o ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) 2 {\displaystyle f_{\text{o}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}} (Eq.4)

sau đó f e {\displaystyle f_{\text{e}}} là hàm chẵn, f o {\displaystyle f_{\text{o}}} là hàm lẻ, và

f ( x ) = f e ( x ) + f o ( x ) . {\displaystyle f(x)=f_{\text{e}}(x)+f_{\text{o}}(x).}

Ngược lại, nếu

f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) , {\displaystyle f(x)=g(x)+h(x),}

trong đó g là chẵn và h là lẻ, thì g = f e {\displaystyle g=f_{\text{e}}} và h = f o , {\displaystyle h=f_{\text{o}},} bởi vì

2 f e ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) = g ( x ) + g ( − x ) + h ( x ) + h ( − x ) = 2 g ( x ) , 2 f o ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) = g ( x ) − g ( − x ) + h ( x ) − h ( − x ) = 2 h ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h(-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x)-h(-x)=2h(x).\end{aligned}}}

Ví dụ, hàm cosin hyperbolic và sin hyperbolic có thể được coi là các phần chẵn và phần lẻ của hàm số lũy thừa tự nhiên, bởi vì hàm thứ nhất là chẵn, hàm thứ hai là lẻ, và

e x = cosh ⁡ ( x ) ⏟ f e ( x ) + sinh ⁡ ( x ) ⏟ f o ( x ) {\displaystyle e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}}